Belajar MTK: Integral

Integral sebagai Anti Turunan
Sebuah fungsi F(x) disebut anti turunan dari fungsi f(x), jika F'(x)=f(x) untuk semua x anggota Df
Contoh :

B. Integral Tak Tentu

Rumus-Rumus dalam Integral Tak Tentu

Contoh Soal Integral Tak Tentu

C. Integral Substitusi

Contoh Soal dan Pembahasan Integral Subtitusi

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu seperti sebelumnya dijelaskan merupakan invers/kebalikan dari turunan. Turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri. Perhatikanlah contoh turunan-turunan dalam fungsi aljabar berikut ini:

Turunan dari fungsi aljabar y = x³ adalah y^I = 3x²
Turunan dari fungsi aljabar y = x³ + 8 adalah y^I = 3x²
Turunan dari fungsi aljabar y = x³ + 17 adalah y^I = 3x²
Turunan dari fungsi aljabar y = x³ – 6 adalah y^I = 3x²

Seperti yang sudah dipelajari dalam materi turunan, variabel dalam suatu fungsi mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh tersebut, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu y^I= 3x². Fungsi dari variabel x³ ataupun fungsi dari variabel x³ yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contoh: +8, +17, atau -6) memiliki turunan yang sama. Jika turunan tersebut dintegralkan, seharusnya adalah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat ditulis:

f(x) = y = x³ + C

Dengan nilai C bisa berapapun. Notasi C ini disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari suatu fungsi dinotasikan sebagai:

$\int f(x) dx$

Pada notasi tersebut dapat dibaca integral terhadap x”. notasi disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) adalah penjumlahan F(x) dengan C atau:

$\int f(x) dx = F(x)$

Karena integral dan turunan berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan. Jika turunan:

$\frac{d}{dx}\frac{a}{(n+1)}x^{(n+1)} = ax^n$

Maka rumus integral aljabar diperoleh:

$\int ax^n dx = \frac{a}{(n+1)}x^{n+1} + C$

dengan syarat $n \neq 1$ .
Sebagai contoh lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

$\int 4x^3dx=\frac{4}{(3+1)}x^{(3+1)}+ C = x^4 + C$
$\int \frac{1}{x^3}dx = \int x^{-3} dx = \frac{1}{(-3+1)}x^{-3+1}+C$ $= -\frac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^2}+C$
$\int 4x^3 - 3x^2 dx = \frac{4}{(3+1)} x^{(3+1)} + \frac{3}{(2+1)}x^{(2+1)}+C$ $= x^4+x^3+C$

Integral Trigonometri

Integral juga bisa dioperasikan pada fungsi trigonometri. Pengoperasian integral trigonometri juga dilakukan dengan konsep yang sama pada pada integral aljabar yaitu kebalikan dari penurunan. Sehingga dapat simpulkan bahwa:

No.	Fungsi f(x) = y	Turunan $\frac{dy}{dx}$	Integral
1	y = sin x	cos x	$\int \cos x dx$ = sin x
2	y = cos x	– sin x	$\int \sin x dx$ = – cos x
3	y = tan x	sec² x	$\int \sec^2 x dx$ = tan x
4	y = cot x	– csc² x	$\int \csc^2 x dx$ = – cot x
5	y = sec x	tan x . sec x	$\int \tan x . \sec x d$ = sec x
6	y = csc x	-.cot x . csc x	$\int \cot x . \csc x dx$ = – csc x

Selain rumus dasar diatas, ada rumus lain yang bisa digunakan pada pengoperasian integral trigonometri yaitu:

Fungsi f(x) = y	Turunan $\frac{dy}{dx}$	Integral
$y = \frac{1}{a} \sin(ax+b)$	cos (ax + b)	$\int \cos (ax+b) dx$ = $\frac{1}{a}$ sin (ax + b) + C
$y = - \frac{1}{a} \cos (ax + b)$	sin (ax + b)	$\int \sin (ax+b) dx$ = $-\frac{1}{a}$ cos (ax + b) + C
y = $\frac{1}{a}$ tan (ax + b)	sec² (ax + b)	$\int \sec^2(ax+b)dx$ = $\frac{1}{a}$ tan (ax + b) + C
y = $-\frac{1}{a}$ cot (ax + b)	csc² (ax + b)	$\int \csc^2(ax+b) dx$ = $- \frac{1}{a}$ cot (ax + b)
y = $-\frac{1}{a}$ sec (ax + b)	tan (ax + b) . sec (ax + b)	$\int$ (ax+b) . sec(ax + b) dx= $\frac{1}{a}$ sec (ax + b) + C
y = $-\frac{1}{a}$ csc (ax + b)	cot (ax + b) . csc (ax + b)	$\int$ cot (ax + b) . csc (ax + b) dx = $-\frac{1}{a}$ csc (ax + b)