Aturan Sinus, Cosinus, Dan Luas Segitiga

1. Aturan Sinus
Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Aturan Sinus

Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂

Aturan Sinus 2

2. Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut!

Aturan Cosinus

b²  = CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B = CD  ⇔ CD = a. Sin B... (2)
               a

Cos B = BD  ⇔ BD = a. Cos B... (3)
                a

AD = AB - BD = c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b² = (a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b² = a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b² = a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b² = a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Aturan Cosinus 2

Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²   = b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A =  b² + c² - a²
         Cos A =  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B =  a² + c² - b²

                             2.a.c

⇔   Cos C =  a² + b² - c²

                             2.a.b

3. Luas Segitiga

Rumus Luas Segitiga

Perhatikan △ABC disamping !

Sin A = CD

                b

⇔ CD = b. sin A

Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:

½ x alas x tinggi

Dalam △ABC disamping

⇨ ½ x AB x CD
⇨  ½ x c x b.Sin A

Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :

Luas △ = ½ b.c.Sin A

Luas △ = ½ a.c.Sin B

Luas △ = ½ a.b..Sin C