Baris Dan Deret

1. Aritmatika

Baris
Baris adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.

Contoh:
1, 2, 3, 4, 5, ... , dst.
3, 5, 7, 9, 11, … , dst.

Deret
Deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Jika suatu barisan:
 makaadalah Deret.

Contoh:
1 + 2 + 3 + 4 + 5, ... + Un
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + Un.

Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan “b”

Contoh:
3, 6, 9, 12, 15.
Barisan diatas merupakan barisan aritmatika karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama/tetap, yaitu 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 = 15 – 12 = 3. Nah 3 inilah yang dinamakan beda.

Bentuk umum barisan aritmatika:

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), …, (a+(n-1)b)

Rumus:
Beda:

Suku ke-n:

           atau

Keterangan:
a = U1 = Suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un= Suku ke-n

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut:

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika.

Bentuk umum deret aritmatika:

a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b)

rumus:

         atau

keterangan:

Sn = jumlah n suku pertama

Sisipan pada Barisan Aritmatika

Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:

• Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:

• Banyak suku barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku:

• Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku:

2.Geometri

 Barisan geometri merupakan barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan satu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu sering disebut sebagai pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan r.
Barisan U1 , U2 , U3 , U4 , ….. , Un disebut sebagai barisan geometri jika memenuhiRasio

Contoh barisan geometri :
7, 21, 63, 189, ….
3, 6, 12 , 24, 48 ,. . . .
Rumus Suku ke-n
Jika suku pertama ( U1 ) dari suatu barisan geometri disimbolkan dengan a , maka rumus suku ke-n barisan geometri dapat ditentukan sebagai berikut:

Dari pernyataan diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah
Dimana r adalah rasio atau pembanding yang dapat dicari dengan cara berikut:

  

DERET GEOMETRI

Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Jika suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan: a_n = a₁r^{n – 1}, maka deret geometri dapat dituliskan sebagai,

 

Jika kita mengalikan deret tersebut dengan –r kemudian menjumlahkannya dengan deret aslinya, kita mendapatkan

 





Sehingga kita memperoleh Sn – rSn = a1 – a1rn. Dengan menyelesaikan persamaan tersebut untuk Sn, kita mendapatkan
 Rumus suku ke n 








Deret Tak Hingga
 
Bentuk umum dari deret geometri tak hingga adalah

a + ar + ar² + ar³ + ...

dimana a adalah suku pertama dan r adalah rasio.
Ada dua istilah yang sering digunakan menyangkut barisan/deret tak hingga, yaitu konvergen dan divergen.

Konvergen artinya memusat atau menuju ke suatu titik tertentu. Sebaliknya, divergen artinya tidak memusat, bisa jadi menyebar, berisolasi, atau mungkin konstan, yang pasti tidak menuju ke suatu titik tertentu.

Pada deret geometri, kekonvergenan dapat dilihat dari rasio deret tersebut.

Deret geometri tak hingga dikatakan konvergen dan mempunyai jumlah jika dan hanya jika |r| < 1. 

Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika dan hanya jika |r| ≥ 1. Deret divergen tidak mempunyai jumlah. 

Catatan :
|r| < 1   ≡   -1 < r < 1
|r| ≥ 1   ≡   r ≤ -1  atau  r ≥ 1

Jumlah dari suatu deret tak hingga adalah suatu nilai yang dituju Sn (jumlah parsial deret tersebut), ketika n bertambah besar menuju tak hingga. 

Dengan kata lain, jumlah dari suatu deret tak hingga adalah limit dari jumlah parsial deret tersebut. Dalam notasi limit kita tulis $$S=\underset{n\to \infty }{lim}{S}_n$$
Dengan demikian, jumlah dari deret geometri tak hingga dapat dinyatakan sebagai $$S=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Jika  |r| < 1 maka limit dari rⁿ untuk n menuju tak hingga akan sama dengan nol. Akibatnya,  $$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a}{1-r}$$